拓扑学入门10——连通性

所谓连通性，直观上看是表示拓扑空间“相连”的概念。例如数轴 是连通的，但是挖去一点以后的子空间 不连通。 从直观上看可以分成 和 这两个“相连部分”，像这样构成空间的“相连部分”也可以精确地定义，称为连通分支。

拓扑空间 如果满足以下两个条件，则称为连通的。

1. 非空。
2. 不存在非空开集 ，使得 。

定义中的2表示无法将拓扑空间 切分成两个相离的部分。此外，条件1在一些文献中没有要求，这里加入条件1是为了保证拓扑空间连通等价于它的连通分支（后面会介绍）有且只有一个。因为连通性是用开集的语言来描述的，所以它是拓扑性质。也就是说，如果 ，那么 连通时， 也连通。

拓扑空间 的子集 如果同时为开集和闭集，就把 称为 的开闭集。由拓扑空间的定义可知， 恒为 的开闭集。以下是连通空间的几种等价定义。

对于非空拓扑空间 ，以下命题等价：

1. 是连通的。
2. 不存在非空闭集 ，使得 。
3. 不存在除了 之外的开闭集。
4. 任意连续映射 皆为常值映射，这里的 为离散空间。

证明： 。假设存在非空闭集 ，使得 。令 ，则 为开集并且 。根据连通的定义， 不连通，矛盾。

。假设存在开闭集 ，令 ，则 均为非空闭集，并且 ，矛盾。

。假设存在连续映射 不为常值映射，记 。因为 是离散空间 的开闭集， 连续，所以 是 的开闭集。易证当 或 时，相应的 均为常值映射，与 不为常值映射矛盾，所以 ，与条件3矛盾。

。假设 不连通，那么存在非空开集 ，使得 。定义 ，则 均为开集，因此 连续。但这与条件4矛盾。

证毕。

从上面的证明全部采用反证法可以看出，比起直接证明连通性，非连通的证明更加容易。今后，对于映射 和 ，约定单点集 的原像 简写成 ，这样一来上面证明中的 将分别变成 。

首先举一些非常简单的例子。仅由一个点所构成的拓扑空间是连通的，由两个或两个以上的点所构成的离散空间不是连通的，非空平凡空间是连通的，由无限个点所构成的有限补空间是连通的。以上证明留给大家。

因为拓扑空间的子集在没有特别说明时总是将它视为具有相对拓扑的子空间，所以对于拓扑空间的子集自然也可以定义它的连通性。也就是说，拓扑空间 的子集 是连通的，当且仅当 装备相对拓扑之后成为连通空间。这种时候， 也称为 中的连通（子）集。

设 为拓扑空间， ，以下命题等价：

1. 是连通的。
2. 不存在 的非空子集 ，使得 （此处的闭包符号是指在全空间 中的闭包）。

证明： 。假设存在 的非空子集 ，使得 ，那么 。根据命题6.15， ，因此 是 的闭集。同理， 也是 的闭集，这就和命题10.3矛盾。

。假设 不连通，根据命题10.3， 中存在非空闭集 ，使得 。由于 是 的闭集，因此 ，于是 。同理可证 ，与条件2矛盾。

证毕。

考虑 的子集 ，它是不连通的。实际上，令 ，它们非空，且 。另外， ，因此 。根据命题10.4， 不连通。

当然，直接利用连通的定义也能判断 不连通。注意到 ，因此 都是子空间 的非空开集。而 ，根据连通的定义可知 不连通。

现在来证明有界闭区间是连通的，它和紧性都是有界闭区间所具有的重要性质。

设 ，则闭区间 是连通的。

证明：显然闭区间非空。假设 不连通，根据命题10.3，存在 中的非空闭集 ，使得 。因为 是 的闭集，所以 也是 的非空闭集。不妨设 ，因为 ，根据确界原理， 存在下确界 ，于是由例4.6得 。

另一方面， （否则 ，和 矛盾），所以 。因为 是 的下确界，所以 ，于是 ，进一步有 。两边取闭包， ，即 ，依然和 矛盾。

所以 连通。

证毕。

设 为拓扑空间， 为 中的一族连通集（约定指标集 ）。若 ，则 也连通。

证明：取 并固定，它是每个 的公共点。记 ，则 非空。任取连续映射 （这里的 为离散空间）和 ，则存在 ，使得 。因为每个限制映射 都连续，所以根据命题10.2， 为常值映射，即 。于是由 的任意性可知 为常值映射。根据命题10.2， 连通。

证毕。

数轴 的子集连通等价于它为区间，正确叙述如下。

对于 ，以下命题等价：

1. 是连通集。
2. 是以下集合中的任意一种。

※第1种情况中的 ，第2、3、4种情况中当端点为 时，指无限区间。

证明： 。当 连通时， 。根据广义的确界原理， 有上下确界。设 （如果 无上界，那么 ，无下界同理），则 。于是 。当 时， ，属于第1种情况。当 时，如果存在 ，使得 ，令 ，则 都是 的非空开集，且 ，与连通性矛盾。所以 。再根据 是否属于 ，就得到了上述4种情况中的任意一种。具体来说，当 时是第1种情况，当 时是第2种情况，当 时是第3种情况，当 时是第4种情况。

。第1种情况在定理10.6中已经证明。第2种情况，对于任意 ，闭区间 是连通的。而 ，由命题10.7得 连通。第3种情况同理。第4种，取 并固定，对于任意满足 的 ，有 ，所以 连通。

证毕。

命题10.8的第4种情况中，当 时，开区间 就是数轴 本身，所以 连通。

设 为连通空间， 为拓扑空间，映射 连续。此时， 是连通的。

证明：根据连通的定义可知 ，所以 。把 的陪域限制在 上，得到的 连续。又任取连续映射 ，这里的 为离散空间，则复合映射 也连续。因为 连通，根据命题10.2， 为常值映射。任取 ，则存在 使得 。此时， ，因此 为常值映射。根据命题10.2， 连通。

证毕。

设 为拓扑空间， 为连通集。如果子集 满足 ，那么 也连通。

证明：根据连通的定义可知 ，所以 。首先先证明 的特殊情况。任取连续映射 ，这里的 为离散空间，则限制映射 连续。而 连通，根据命题10.2， 为常值映射。不妨设 ，则 。注意到 为闭集，而 也为闭集，所以 为 的闭集。于是根据命题4.2， ，即 ，因此 为常值映射。根据命题10.2， 连通。

接着证明一般情况。设 ，根据命题6.15， 。令 ，则 ，而前面已经证得 连通，因此 连通。

证毕。

注意到 意味着 在 中稠密，即 是 的稠密子集。所以，命题10.11也可以说成如果 存在连通的稠密子集，那么 连通。

连通空间的直积也是连通的。虽然结论对任意个连通空间的直积都成立，但证明先从比较简单的有限个直积入手，再推广到一般情况。

设 为连通空间，则 也是连通的。

证明：因为 （系9.19），所以只要证右边连通。

当 时结论显然。当 时，不妨写成 。由连通的定义可知 ，任取 并固定。对于每个 ，定义集合 ，下标 表示与所选 有关。因为 分别和 同胚（定理9.18），所以二者连通。又因为 ，根据命题10.7， 连通。另外， 且 ，所以 连通。

当 时，利用数学归纳法可证 连通，因此 连通。

证毕。

设 为一族连通空间，则积空间 也连通。

证明：记 为投影映射。因为每个 非空，所以可以从各个 中选出一定点 （需要选择公理），于是定点 。设指标集 的所有非空有限子集组成的集族为 ，对于每个 ，定义集合 ，即如果 ，那么 中的点的第 分量要等于 （ 时的第 分量可以是空间 的任意元素）。如此，则 与有限个连通空间的直积 同胚，根据命题10.12可知 连通。而 的原因在于，组成直积 的各个分量只有 时，该分量为 ，其余所有分量均为单点集 。和定理9.18、系9.19中的 类似，积空间与去掉组成它的单点集分量后剩余的积空间同胚。注意到 的各个分量为 ，当然满足 的定义，所以 。记 ，根据命题10.7， 连通。

任取 以及 的任意开邻域 ，则存在有限个不同的 中的开集 ，满足 ，并且 。此时， 。取 中的点 满足 ，即点 的第 分量为 中的某一点，其余所有分量均为 。显然 ，由命题4.5得 ，因此 。而 ，根据命题10.11可知 连通。

证毕。

证明过程中为了说明点 的存在性而使用了选择公理。实际上，“任意个连通空间的积空间连通”也能推出选择公理，因此二者是等价的。

连通性定义的一种比喻说法，就是把拓扑空间相连这件事用“无法切分成两个相离的部分”来描述。当然可以采用另一种说法，即把相连这件事用“任意两点之间都能用空间中的一条曲线连接”来描述，这就是下面要介绍的道路连通性。

对于一般的拓扑空间 ，连续映射 称为 中的道路， 分别称为道路的起点和终点（例6.13）。

拓扑空间 如果满足以下两个条件，则称为道路连通的。

1. 非空。
2. 对于任意 ，存在 中的道路 ，使得 分别为道路的起点和终点（即 ），又称 能用道路 连接。

同理，拓扑空间 的子集 是道路连通的，当且仅当 装备相对拓扑之后成为道路连通空间。这种时候， 也称为 中的道路连通（子）集。道路连通性也是拓扑性质之一。

道路连通空间是连通的。

证明：设 为道路连通空间，则 。假设 不连通，那么存在非空开集 ，使得 。取 ，因为 道路连通，所以存在连续映射 ，使得 。记 ，那么 都是 的开集。并且 ，所以二者非空。而 ，所以 不连通，和定理10.6矛盾。

证毕。

在连通性的性质中，一部分对道路连通性也成立。以下是两个例子。

设 为道路连通空间， 为拓扑空间，映射 连续。此时， 是道路连通的。

证明：根据道路连通的定义可知 ，所以 。任取 ，则存在 使得 。因为 道路连通，所以存在连续映射 ，使得 。把 的陪域限制在 上，得到的 连续，因此 也连续。于是 ，因此 道路连通。

证毕。

设 为拓扑空间， 为 中的一族道路连通集（约定指标集 ）。若 ，则 也道路连通。

证明：取 并固定，它是每个 的公共点。记 ，则 非空。设 为包含映射，任取 ，则存在 ，使得 。此时，因为 ，所以存在连续映射 ，使得 。记 ，则 连续，并且依然有 ，即 是 中的道路。同理，存在另一条道路 ，使得 。正如例6.13那样，这两条道路可以合成为一条新的道路 ，所以 道路连通。

证毕。

欧氏空间 中的子集 为凸集，指的是对于任意的 和 ，有 。从几何上看，某个集合 为凸集，指的是以 中任意两点为端点的线段全部包含于 。

如果 中的子集 为非空凸集，那么 是道路连通的。实际上对于任意的 ，映射 连续，这就是 中以 为起点和终点的道路。

数轴 中的区间（命题10.8中的4种情况）显然是凸集，所以都是道路连通的。结合命题10.15可知，在 中连通性等价于道路连通性。但是，后面的例10.21会告诉我们， 中存在连通但不道路连通的子集。

欧氏空间中的欧几里得范数用 来表示。 维单位闭球 是凸集。实际上，对于任意 ，因为 ，所以 ，于是 即 为凸集。例10.18表明它是道路连通的，所以也连通。同理可证 维单位开球 也是凸集，所以它也是道路连通和连通的。

一般地，对于欧氏空间的任意开球 和闭球 ，同理可证它们都是凸集，所以都是道路连通和连通的。

设 ，我们来证明 中的 维单位球面 是道路连通的。记 的子集 ，则 ，并且 ，所以只要证明 都道路连通，根据命题10.17就得到 道路连通。

定义 ，其中 为单位闭球。由 的表达式可知它是连续的双射，并且逆映射 也显然连续，所以 。例10.19告诉我们 是道路连通的，所以 也道路连通。当然，如果不借助同胚映射，由 是连续的双射可知 ，从而利用命题10.16也能判定。同理， 也是道路连通的，这样就证明了 道路连通。

另外，当 时， 。它可以写成两个非空闭集 之并的形式，所以它不连通，从而不道路连通。

下一个例子表明连通性和道路连通性是不同的概念。

考虑平面 的两个子集 ，记 ，易证 。

取 ，它连续，且 。而 是连通的，由命题10.10得 连通。

任取 和它的开邻域 ，则分别存在开球 ，使得 。取 并令 ，则 。根据实数的阿基米德性质，存在正整数 ，使得 。又根据介值定理，存在 ，使得 。容易验证点 ，根据命题4.5， ，于是 。而 ，因此 。根据命题10.11， 连通。

又取 。假设 中存在分别以 为起点、终点的道路 ，定义连续映射 ，那么 也连续，并且 。

构造集合 ，简单来说就是使得闭区间 的像为单点集 的那些 组成的集合。它有上界1，并且 （同样是规定 ），所以它有上确界 ，记作 。如果 ，那么 。如果 ，那么 ，因此 。而因为 是闭集， 连续，所以 是闭集。根据命题4.2， ，于是 ，再结合 可知 。

两种情况下都有 。而 ，所以不妨设 ，则 。此时根据① ② 分类讨论：

①记 ，它是从 中挖去纵坐标为1的点后所剩开集，因此含有 。于是存在 ，使得开球 。又因为 在 处连续，根据命题5.9，对于上述 ，存在 ，使得开球 满足 。特别地，子集 也满足 。根据上确界的定义，任取 ，则 ，于是 。根据实数的阿基米德性质，存在正整数 ，使得 。又根据介值定理，存在 ，使得 ，这意味着点 的横坐标为 ，从而 。所以 ，但这和 矛盾。

②此时只需要将①中的 改成 ，即从 中挖去纵坐标为-1的点后所剩开集，因此含有 。按照同样方法可以得到 和 。取正整数 使得 ，根据介值定理，存在 。于是 ，和 矛盾。

这样就证明了不存在分别以 为起点、终点的道路，从而 不是道路连通的。

例10.21中证明了 。虽然这就足以证明 的连通性，但其实这个包含于是等号，即 。为了证明这一点，只需要证明 。而 ，于是只要证明 为闭集（参考命题4.2），即证明 为开集即可。

易证 为以下4个开集之并： ，因此 为开集。

又 为有界集合，结合 为闭集可知 是紧的（定理9.20）。

命题10.11告诉我们连通集的闭包总是连通的，但这条性质对道路连通性不成立。实际上，例10.21中的 为道路连通集 的连续像，所以它是道路连通的；注意10.22表明 。然而，例10.21已经证明了 不道路连通。

接下来定义连通分支，这是本章前言中提到的构成空间的“相连部分”的精确定义。

设 为拓扑空间， 。所谓 在 中的连通分支，指的是含有点 的所有连通集之并，用 来表示。也就是说，设 ，将 中的集合对应到某个指标集 ，表示成 ，那么 称为 在 中的连通分支。

如果子集 为某一点 在 中的连通分支，即 ，那么 称为 的连通分支。

需要说明的是，记号 仅限于本系列文章中使用，在大部分文献中，连通分支没有特别的记号表示。另外，上述集族 一定非空，是因为单点集 ，同时这也表示指标集 。

设 为拓扑空间，那么：

1. 对于任意 ，它在 中的连通分支 是含有点 的所有连通集之中最大的集合。
2. 对于任意 ，如果 ，那么 。
3. 对于任意 ，它在 中的连通分支 是闭集。

证明：1，由连通分支的定义， ，因此 。并且根据命题10.7， 连通。另外，任何含有点 的连通集都能表示成 的形式，所以都包含于 ，从而 就是含有点 的所有连通集之中最大的集合。

2，由1可知 都连通，且 ，所以根据命题10.7， 也连通。而因为 ，由1中的最大性可知 ，所以 。同理可证 ，因此 。

3，由1可知 连通，所以它的闭包 也连通。由1中的最大性可知 ，因此 是闭集。

证毕。

从命题10.25能看出， 的所有不同的连通分支把 分割成了互不相交的连通闭集。

设 为拓扑空间，以下命题等价：

1. 连通。
2. 的连通分支有且只有一个。

证明： 。当 连通时， ，因此存在 。而 是连通的，所以 至少有一个连通分支。任取 ，因为 连通，由命题10.25得 ，因此 。同理可证 ，所以 。这就说明 的连通分支只有一个。

。设该连通分支为 。命题10.25表明 的所有不同的连通分支把 分割成了互不相交的连通闭集，即 是这些互不相交的连通闭集之并。现在连通分支只有 ，所以 （一个集合之并就是它本身）。而 连通，所以 连通。

证毕。

在简单的情况下，可以通过以下命题来将拓扑空间分割成一些连通分支。

设 为拓扑空间， 为 中的一族连通开集，满足 ，且对于任意的 ，当 时， 。此时， 中的所有连通分支组成的集族等于 。

证明：首先证明 的任意连通分支都属于集族 。设 为任意连通分支，则存在 ，使得 。又因为 ，所以存在 ，使得 。根据命题10.25， 。假设 ，记 ，则满足 。且 是开集，因此也是子空间 的开集；而 ，若令 ，那么 是开集，于是 也是子空间 的开集。存在这样的开集 会与 的连通性矛盾，所以假设不成立， 。

其次证明 中的任意集合都是 的连通分支。任取 ，则 连通，因此非空。取 并固定，则根据命题10.25，有 。同理可证此时必须有 ，因此 是 的连通分支。

证毕。

设 ，由命题10.27得 的连通分支恰好为 和 。因为连通分支不唯一，所以 不连通。当然，利用定义也能判断 不连通，这里交给大家验证。

又设 ，记 ，则它们分别是子空间 的非空开集，且 ，因此 不连通。当然，如果构造连续映射 ，则 ，根据命题10.10可判断 连通。同理， 也连通，根据命题10.27可知 恰好为 的两个连通分支。

给 赋予相对于 的相对拓扑，则由两个或两个以上的有理数组成的集合决不可能连通。实际上，设 中含有不同的两点 ，且 ，则存在无理数 ，使得 。令 ，那么 分别为 的非空开集，并且 ，因此 不连通。

可以看到，对于任意 ，含有 的连通集只可能是单点集 ，因此 。于是 的所有连通分支皆为单点集。然而很容易确认 中的单点集不是开集，所以命题10.27只是充分条件。

像 这样，如果拓扑空间的所有连通分支皆为单点集，就把这样的拓扑空间称为完全不连通的。

将连通性换成道路连通性，也能得到类似连通分支的概念，这就是道路连通分支。在介绍道路连通分支之前，先介绍下面的命题。

设 为拓扑空间，定义 中的二元关系 为： ，则 为 中的等价关系。

证明：分别来验证条件 。

：任取 ，定义常值映射 ，则它就是以 为起点和终点的道路，因此 。

：设 ，则 中存在以 为起点， 为终点的道路 。定义 ，则它就是以 为起点， 为终点的道路，因此 。

：设 ，则 中存在以 为起点， 为终点的道路 ，和以 为起点， 为终点的道路 。按照例6.13的方法可以合成 中的一条新道路 ，满足 ，即它就是以 为起点， 为终点的道路，因此 。

证毕。

设 为拓扑空间， 。所谓 在 中的道路连通分支，指的是点 关于命题10.30中的等价关系的等价类 ，用 来表示。也就是说，设 为道路连接的等价关系，那么 称为 在 中的道路连通分支。

如果子集 为某一点 在 中的道路连通分支，即 ，那么 称为 的道路连通分支。

因为道路连通分支 是 关于等价关系 的等价类，所以 ，即 中任意两点都能用道路来连接。根据道路连通的定义， 是道路连通集。这就是说， 的所有不同的道路连通分支把 分割成了互不相交的道路连通集，即 是这些互不相交的道路连通集之并。同样地，记号 也仅限于本系列文章中使用。

下面的命题根据道路连通的定义可以马上验证，故省略。

设 为拓扑空间，以下命题等价：

1. 道路连通。
2. 的道路连通分支有且只有一个。

设 为拓扑空间， ，则 。

证明：由定义得 。而 道路连通，所以也连通。根据命题10.25可知， 。

证毕。

当已知拓扑空间的一些连通分支之后，要求空间的道路连通分支，以下是一种方法。

设 为拓扑空间， 为 的连通分支。如果 是道路连通的，那么 也是 的道路连通分支。

证明：设连通分支 道路连通。任取 ，根据命题10.33， ，因此 。此时， 一定成立。否则，假设存在 使得 ，根据道路连通分支的定义， 之间不能用 中的道路来连接，当然也就不能用 中的道路来连接，这就和 的道路连通性矛盾。于是所有的 都相同，这就意味着 ，即 是 的道路连通分支。

证毕。

（1）例10.28中 的连通分支有且只有 和 ，而它们也都是道路连通的，因此 就是 的道路连通分支。同理， 的两个连通分支 同时也是道路连通的（作为道路连通集的连续像），因此 就是 的道路连通分支。例10.29中 的连通分支为所有单点集 ，同时单点集也是道路连通的，所以这些单点集也都是 的道路连通分支。另外，这个例子也告诉我们道路连通分支不一定是开集。

（2）考虑例10.21中连通但不道路连通的例子 。因为 连通，所以它的连通分支有且只有一个。例10.21已经说明了 是连通集 的连续像，而 也是道路连通的，那么 作为道路连通集的连续像，当然也是道路连通的。 则可以看成道路连通集 在 这个连续映射下的连续像，因此 也是道路连通的。又已经证明 之间不能用道路连接，即 ，所以最终结果就是 具有两个道路连通分支 。这个例子告诉我们，将拓扑空间分割成连通分支和道路连通分支的结果可以不一致。并且由于 这个道路连通分支不是 的闭集（假设 是 的闭集，那么 ，矛盾），所以和命题10.25的结论不同，拓扑空间的道路连通分支不一定是闭集。

最后介绍一些利用连通性来证明两个拓扑空间不同胚的例子。

现在来证明单位闭区间 和单位圆周 不同胚。二者都是连通集，所以不能直接利用连通性来证明它们不同胚。因此，巧妙的方法是去掉适当的一点，使其中一方失去连通性。

假设存在同胚映射 ，考察闭区间的中点 。将 限制在去掉中点的闭区间 上，并且值域 也去掉相应的 ，则 依然是同胚映射。注意此时的 不连通，所以 也不应该连通。但这是不可能的，因为如果设 的话，定义连续映射 ，则 。所以 ，而右边作为连通集的连续像是连通的。这就证明了不存在这样的同胚映射，即单位闭区间和单位圆周不同胚。

将上述方法一般化，通过去掉适当的点之后比较二者连通分支的个数也是一种方法，因为互相同胚的拓扑空间连通分支的个数是相同的。

现在来证明 和 ，即平面内的x轴与x轴并上y轴所得集合不同胚。

※严格意义来说平面内的x轴为 ，但熟知它是同胚于 的，所以可以直接把 视为x轴。

假设存在同胚映射 ，考察点 。从定义域和值域分别去掉 和 之后，所得限制映射 依然是同胚映射。然而，此时的 为 ，这4个集合恰好满足命题10.27的条件，因此 的连通分支有4个。另一方面， 为 ，连通分支只有2个。这就产生了矛盾，所以 不同胚。

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